התייחסות זו לפתרונן של בעיות מתמטיות הוצגה בבהירות על-ידי הילברט, בהרצאה שנשא בכנס בינלאומי של מתמטיקאים שנערך בפריז בשנת 1900 ובה אמר: "אם אנו נכשלים בפתרונה של בעיה מתמטית, הסיבה לכך היא, לעתים קרובות, כשלוננו בזיהוי נקודת המבט הכללית יותר, שבמסגרתה מופיעה הבעיה שלפנינו כחוליה בשרשרת של בעיות קשורות. לאחר שאנו מוצאים את נקודת המבט הכללית, לא זו בלבד שקל לנו יותר לחקור את הבעיה שלפנינו, אלא שבאותה עת אנו רוכשים שיטה שניתן ליישמה גם לפתרונן של בעיות אחרות."

נאמן לשיטתו זו, הציג הילברט בהמשך הרצאתו הכללה מרחיקת לכת של הבעיה המופיעה במשפט האחרון של פרמה. בהרצאה זו, כנראה המפורסמת ביותר בתולדות המתמטיקה, הציג הילברט עשרים ושלוש בעיות שאותן ראה כמרכזיות להמשך המחקר בכל ענפי המתמטיקה. בעיות אלה, שהשפעתן על המחקר המתמטי ניכרת לכל אורך המאה העשרים, זוהו בשמות מתאימים, ואחת מהן נתפרסמה בהתאם למספרה הסידורי ברשימתו של הילברט. הבעיה העשירית של הילברט דרשה למצוא אלגוריתם (תהליך המסתיים לאחר מספר סופי של צעדים), שיאפשר לקבוע לגבי כל משוואה דיופנטית נתונה האם יש לה פתרון. די באלגוריתם זה כדי להוכיח את משפט פרמה או להפריכו. במקרה שהאלגוריתם מפריך את המשפט, כלומר כאשר הוא קובע כי יש פתרון בשלמים למשוואת פרמה, נרצה כמובן לדעת את ערכי הפתרון, אך האלגוריתם אינו נדרש לספק מידע זה.

אלגוריתמים מהסוג שדרש הילברט, ביחס למשוואות דיופנטיות פשוטות, נמצאו על-ידי אוקלידס ועל-ידי גאוס. לפיכך היה בסיס לתקווה למצוא אלגוריתם כללי כזה, אולם בשנת 1970 הראה המתמטיקאי הרוסי יורי מאטיאשביץ, בן ה-22, שלא ייתכן אלגוריתם כללי כזה.

כפי שמתברר מסיפורנו, היצירה המתמטית אינה מורכבת רק מהתקדמות עקב בצד אגודל, נדבך אחר נדבך, של הוכחת משפט חדש מתוך משפטים קיימים, אלא גם מהשערות מרחיקות לכת, הדורשות שנים רבות לשם בירורן. הוכחה של השערה מוצלחת מבטיחה פריצת דרך משמעותית במחקר המתמטי, אך פעמים רבות גם כאשר ההשערה מופרכת יש בה תועלת בזכות הדרכים החדשות שנדרשו כדי להפריכה, כמו גם בזכות המשמעות שיש לשלילתה של ההשערה.

במאמר שפורסם בשנת 1978, תיאר הרולד אדוארדס מאוניברסיטת ניו-יורק, מחבר הספר "המשפט האחרון של פרמה", את מצב הפעילות בנושא זה "פחות או יותר רדום". זאת משום שלא נמצאה כל דרך חדשה לתקוף את הבעיה, וההתקדמות בדרך שהתווה קומר 130 שנה קודם לכן מיצתה את עצמה. מאות מחקרים הרחיבו את הידע אודות המשפט, אך לא הגיעו להוכחתו המלאה. דרכים שונות לחלוטין להתמודדות עם משפט פרמה החלו להתרקם קודם שכתב אדוארדס את דבריו אלה, אך הפוטנציאל הגלום בהן החל להתממש רק בשנים שלאחר מכן.

בשנת 1922, שנה לאחר שיצא לאור חיבורו "שלוש הרצאות אודות המשפט האחרון של פרמה", העלה הבריטי לואיס מורדל (Mordell) השערה, שכונתה כמובן "השערת מורדל", אם כי על-פי הידע שהיה בידי מורדל בעת ניסוח השערתו (ושנים רבות לאחר מכן) ייתכן שהתאים לה יותר השם "הניחוש הפרוע של מורדל". בדומה לבעיה העשירית של הילברט, אין השערת מורדל עוסקת במשוואה דיופנטית מסוימת, אלא במשוואות דיופנטיות בכללן. ההשערה נכללת בתחום הקרוי גיאומטריה אלגברית, והיא קושרת את מספר הפתרונות של משוואה דיופנטית עם הצורה של הגרף המתאים למשוואה זו. בשנת 1983 הצליח גרד פאלטינגס (Faltings), מתמטיקאי גרמני בן 29, להוכיח את השערת מורדל, שהמתינה אם כן להוכחתה "רק" 61 שנים. במהלך הוכחתה של השערת מורדל הוכיח פאלטינגס שתי השערות נוספות הקשורות בה, בהסתמכו על דרך שהתווה המתמטיקאי הרוסי א.נ. פארשין בשנת 1968.

האם יש לשנות כעת את שמה של השערת מורדל למשפט פאלטינגס? אין זו שאלה של כבוד ומסורת בלבד, אלא שאלה המשקפת את מקומן של ההשערות ביצירה המתמטית. אומנם אין חולקים על כך שהוכחה חדשה נוצרת בעקבות השערה, אך הויכוח מתמקד סביב השאלה עד כמה יש לפתח תיאוריות מתמטיות סביב השערות שטרם הוכחו. האם אין אנו בונים מגדל קלפים בהצגה של השערה הנשענת על השערות אחרות במקום הצגה של הוכחה הנובעת מהוכחות אחרות? מאידך, כאשר השערה מרחיקת ראות מוכחת בסופו של דבר, מזנק הידע המתמטי קדימה. פריצת הדרך שבהוכחתו זיכתה את פאלטינגס במדליית פילדס, "פרס נובל של המתמטיקה". בשנת 1990 זכה בפרס זה אדוארד ויטן, פיסיקאי מאוניברסיטת פרינסטון, בזכות השערות מקוריות שהעלה, השערות שבעקבותיהן הושגה התקדמות מהותית בענפי המתמטיקה הרלבנטיים. יש הטוענים כנגד זאת כי את הפרס ראוי להעניק רק למי שמספק הוכחות, ולא למעלה למעלה השערות, יפות ומעניינות ככל שתהיינה.

השערת מורדל תוחמת באופן משמעותי את הבעיה שבהוכחת משפט פרמה, משום שכתוצאה ממנה נובע שלכל חזקה גדולה מ-2 xⁿ+yⁿ=zⁿ יש למשוואה רק מספר סופי של פתרונות בסיסיים, ולא מספר אינסופי של פתרונות בפוטנציה, כפי שהיה המצב עד להוכחת השערה זו. מספר סופי זה יכול להיות 0, ובכך יוכח משפט פרמה; הוא יכול להיות שונה מ-0, ובמקרה זה יופרך המשפט. עד כה לא נמצאה דרך לקבוע מהו מספר הפתרונות, כך שהבעיה שהציב פרמה בעינה עומדת. עוד יש לשים לב שהשערת מורדל אינה אומרת דבר על מספר החזקות שבהן יש פתרון למשוואת פרמה, אלא היא עוסקת רק במספר הפתרונות האפשרי בכל חזקה בנפרד.

על מידת חדשנותה של ההוכחה של פאלטינגס ניתן להסיק מתחזית שניתנה, ארבע שנים בלבד לפני פרסום ההוכחה, בספרו המקיף של פאולו ריבנבוים, "13 הרצאות אודות המשפט האחרון של פרמה", ובה נאמר: "הוכחה להשערת מורדל נראית רחוקה מאוד ברגע זה". בנוסף לתרומתה הישירה להוכחת משפט פרמה, עוררה עבודתו של פאלטינגס תקווה שהשיטות החדשות שיושמו בה טובות להשלמת ההוכחה הנדרשת.