האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל

י'צנוביפ דע טרבליהמ

דיוד גיצה 1900 תנשב זירפב ךרענש םיאקיטמתמ לש ימואלניב סנכב אשנש האצרהב
תויזכרמכ האר ןתואש תויעב שולשו םירשע ,תע התוא לש םיאקיטמתמה לודג ,טרבליה
אוצמל השרד טרבליה לש תירישעה היעבה .הקיטמתמה יפנע לכב רקחמה ךשמהל
לכ יבגל עובקל רשפאיש ,(םידעצ לש יפוס רפסמ רחאל םייתסמה ךילהת) םתירוגלא
תא חיכוהל ידכ הז םתירוגלאב יד .ןורתפ הל שי םאה הנותנ תיטנפויד האוושמ
ירוי יסורה יאקיטמתמה הארה ,1970 תנשב .וכירפהל וא המרפ לש ןורחאה טפשמה
ץיבשאיטאמ לש ותחכוה .הזכ יללכ םתירוגלא ןכתיי אלש ,22-ה ןב ,ץיבשאיטאמ
.י'צנוביפ תרדס ןיבל טרבליה לש תירישעה היעבה ןיב רציש רשק לע תססבתמ

.תואבה תודיחב וררבתי ןהמ תודחאו ,תועיתפמו תוניינעמ תונוכת ללש י'צנוביפ תרדסל


?הביתהמ ודרי םיבנרא תוגוז המכ

."הבקנו רכז הביתה לא חונ לא ואב םיינש םיינש" :רמאנ תישארב רפסב לובמה רופיסב
םיבנראש החנהב .ודלונ התע הזש םיבנרא גוז םג היה חונ תביתל ולעש תויחה ןיב
גוז שדוח ידמ טילממ םיבנרא גוז לכ ,םיישדוח ליגל םעיגה םויב הנושארל םיטילממ
ףוסב הביתהמ ודרי םיבנרא תוגוז המכ ,חונ תביתב תמ אל בנרא ףאו ,ףסונ םיבנרא
ויעסונו חונש ,תישארב רפסב עיפומה טרופמה םינמזה חול יפ-לע ,ונעדויב ,לובמה
,יארקא וניא לובמה ךשמש ןייצא בגא תדיחב ?םימי רשע-דחאו הנש הביתב והש
הדיח םתרתפ אל םא .ותועמשמ תא דימ ןיבהל תרשפאמ הנשה חול םע תורכיהו
.ד"י קוספ 'ח קרפ תישארבל י"שר שוריפב אצמנ ןורתפה ,וז הנטק

האמה ןב יקלטיא יאקיטמתמ ,י'צנוביפ ודרנואל הנושארל גיצה ונינפלש הדיחה תא
תורפסה תרידחל הבר הדימב םרתש רפס ,"סוקבאה רפס" ורפסב ,הרשע-שולשה
הרדסה תא רצוי הדיחה ןורתפ .הפוריאל ,תויברע-תוידוהה תורפסה ,םויכ תולבוקמה
."י'צנוביפ תרדס" היורקה

.שדוח רחא שדוח הביתב םיבנראה תוגוז רפסמ רחא בוקענ הלאשל הבושת לבקל ידכ
.דחא םיבנרא גוז הביתב היה לובמה תליחת םויב
םרט הביתל ולעש םיבנראהש םושמ ,דחא םיבנרא גוז הביתב היה שדוח רובעכ םג
.תוברתהל ולחה  
.תוגוז ינש הביתב ויה לכה-ךסב רמולכ ,םיבנרא גוז דלונ םיישדוח םותב
.תוגוז השולש הביתב ויה לכה-ךסבו ,םיבנרא גוז דוע דלונ םישדוח השולש םותב
.תוגוז השימח הביתב ויה לכה-ךסבו ,םיבנרא תוגוז ינש ודלונ םישדוח העברא םותב
.תוגוז הנומש הביתב ויה לכה-ךסבו ,תוגוז השולש ודלונ םישדוח השימח םותב

ףוסב ויהש תוגוזה לא םיפסותמ שדוח לכ םותב :תינבתב ןיחבהל רשפא רבכ תעכ
וז תינבתל םאתהב .ןכל םדוק םיישדוח ויהש תוגוזה רפסמכ תוגוז םדוקה שדוחה
ינשה רביאה ,1 אוה הרדסב ןושארה רביאה :האבה הרוצב י'צאנוביפ תרדס תרדגומ
ןמסנ םא .ול ומדקש םירביאה ינש םוכסל הווש ףסונ רביא לכו ,1 אוה םג הרדסב
:ירה ,Fn-ב הרדסה לש n-ה רביאה תא


:ךכיפל איה הרדסה לש התליחת
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...


תוגוז 233 רמולכ ,י'צאנוביפ תרדס לש רשע-השולשה רביאה ,F13 אוה ונתדיחל ןורתפה
.הביתהמ ודרי םיבנרא לש

רשקהבש ךכ ,םיבנרא לש תיתימאה םתוברתה תא ,ןבומכ ,תראתמ הניא י'צנוביפ תרדס
,המאל לאירבג השע י'צנוביפ תרדסב ןושאר ישעמ שומיש .דחוימב הליעומ הניא הז
שמתשה רשאכ ,המרפ לש ןורחאה טפשמה תחכוהב םינושארה םידעצהמ ונל רכומה
הרדסב שמתשה סאקול דראודא .םימתירוגלא לש םתוליעי תריקחל ,1844 תנשב ,הרדסב
םשה תא ,1877 תנשב ,הל ןתנש אוהו ,ןסרמ ירפסמ ברקב םיינושאר םירפסמ רותיאל
רכזויש היסרוקרה גשומ לע םגו סאקול ,ןסרמ לע םיפסונ םיטרפ) "י'צנוביפ תרדס"
.(ןסרמ ירפסמו יונאה ילדגמ לש תודיחב םיעיפומ ,האבה הדיחה ןורתפב


?לדגמה שארבש הביסמל עיגהל ךיא

זכרמ לש לוגעה לדגמה ימורמב הכרענש הביסמל יתנמזוה םוינלימה תופלחתה דובכל
,תוגרדמב אלא תילעמב יתילע אל "2000 גאב" תמיאמ .םישימחה המוקב ,ילאירזע
עגר תא ץימחהל אלש תנמ לע .תוגרדמ הרשע-שש תורשקמ המוקל המוק ןיבש יתאצמו
לוכי ינא תורוצ המכב .תחא תבב תוגרדמ יתש םעפל םעפמ יתילע הביסמה לש אישה
?םייתש וא תחא הגרדמ הלוע ינא דעצ לכב רשאכ ,תוגרדמה 800 תא תולעל

.דבלב תחא הרוצב עיגהל לוכי ינא הנושארה הגרדמה לא
הגרדמה לא תורישי גלדל :תורוצ יתשב עיגהל לוכי ינא היינשה הגרדמה לא
.היינשה הגרדמה לא רובעל הנממו הנושארה הגרדמה לע הליחת תולעל וא ,היינשה   
הגרדמהמ הילא גלדל :תורוצ יתשב עיגהל לוכי ינא (n>2 רשאכ) n-ה הגרדמה לא
עיגהל תורוצה רפסמ רמולכ ,n-1 הרפסמש הגרדמהמ הילא תולעל וא ,n-2 הרפסמש   
רפסמ דועו n-2 הרפסמש הגרדמה לא עיגהל תורוצה רפסמל הווש n-ה הגרדמה לא   
.n-1 הרפסמש הגרדמה לא עיגהל תורוצה   

ןתינ ןהבש תורוצה רפסמ רמולכ ,(ןושארה רביאה אלל) י'צנוביפ תרדס ונינפל העיפומ
.(י'צנוביפ תרדסב n+1 -ה רביאה רמולכ) Fn+1 אוה n הרפסמש הגרדמה לא עיגהל
801-ה רביאה ,F801 ,ןכ םא ,אוה תוגרדמה 800 תא תולעל לוכי ינא ןהבש תורוצה רפסמ
.י'צאנוביפ תרדסב

בשחל ידכש םושמ ,תיביסרוקר הרדגה איה י'צנוביפ תרדסב n-ה רביאה לש הרדגהה
תא תעדל שי הלא םימדוק ינש בשחל ידכו ,וימדוק ינש תא תעדל שי n-ה רביאה תא
.ונל םיעודי םהיכרעש ,הרדסב םינושארה םירביאה ינש דע האלה ךכו ,םהימדוק
החסונ אוצמל חמשנ ןכלו ,ידמל הבר הדובעב ךורכ וז ךרדב 801-ה רביאה בושיח
קודהה רשקה תא הניגפמש ,החסונה הנה .n-ה רביאה תא תורישי בשחל רשפאתש
: וכרעש ,"בהזה ךתח" ןיבו י'צנוביפ תרדס ןיבש


תולק רתיב Fn תא בשחל לכונ ןכלו ,ספאל דואמ בורק יוטיבה לש וכרע
. יוטיבה לש םימלשל לגועמה ךרעכ

תמרב) האצותה תא לבקלו "תונולח" לש ןובשחמל תונפל לכונ וז החסונב םידיוצמ
.F801 = 1.12102381301657019753922131204e+167 :(קפסמ ןובשחמהש קוידה


י'צנוביפ תרדס האב הנה



םירובדה לש ןיסחויה ןליא

,תולעופ לש תובבר :םיסופיט השולשמ ,םירובד לש תודחא תובבר הנומ םירובד תרווכ
םגו) תלעופ .תרווכב םירובדה לש םאה איה הכלמה .תחא הכלמו םירכז תואמ
הניאש הציבמ דלונ רכז וליאו ,םאו בא הל שי רמולכ ,תירפומ הציבמ תדלונ (הכלמ
ןיסחויה םלוסב ןויע .דבלב םא שי הבש תירוה-דח החפשמב ורוקמ רמולכ ,תירפומ
תינורחא ףסונ דעצ .(םאה לש הירוה) אתבסו אבס ומדק םאלש הארמ רכז לש
,(אבסה לש ומא) אבר-אתבס דועו (אתבסה לש הירוה) אבר-אתבסו אבר-אבס הארמ
ןיסחויה םלוסב תינורחא תורוד n ךלנ םא .הז רודב םינומדק השולש לכה ךסבו
המוד ןפואב רוזחנ רשאכ הבושתה המו ?םש אצמנ םינומדק םירוה המכ ,רכז לש
?תלעופ לש ןיסחויה םלוסב

.(םישרתה תיתחתב אצמנש) רכז לש ןיסחויה ןליאב תורוד השימח גיצמ אבה םישרתה
.הכלמ תנייצמ מ תואהו רכז תנייצמ ז תואה


רודב רכז לכ ,םירובדה לש ןיסחויה םלוסב תינרוחא דחא רוד םירזוח ונא רשאכ
.םירוה ינש תמרות הבקנ לכו ,םדוקה רודב דחא הרוה קוידב ונל םרות יחכונה
םירוהה רפסמ ןכלו ,אבה רודב םיאצאצה רפסמל הווש יחכונה רודב תובקנה רפסמ
םיאצאצה רפסמ תפסותב יחכונה רודב םיללכנה רפסמל הווש םדוקה רודב םיללכנה
ןוכנ הז רבסה .י'צנוביפ תרדסל ןבומכ ונתוא איבמ הז ללכ .אבה רודב םיללכנה
וליאו ,התומלשב הרדסה תא םיאצומ ונא רכז לצאש אלא ,דחאכ תולעופלו םירכזל
.םירוה ינש הל שיש םושמ ,הרדסב ןושארה רביאה רסח תלעופ לצא


?םדקתהל הרובדה הלוכי םיכרד המכב

:םיאבה םיללכה םיגוהנ ךינפלש תרווכב
.2 רפסמ את וא 1 רפסמ את ךרד קר תרווכל סנכיהל תיאשר הרובד
ןתינ ,לשמל ,3 רפסמ אתמ .רתוי לודג ורפסמש ךומס אתל קר רובעל ןתינ את לכמ
.5 רפסמ אתל וא 4 רפסמ אתל קר רובעל   

?n רפסמ אתל עיגהל הרובד הלוכי םיכרד המכב


.תחא ךרדב קר עיגהל ןתינ 1 רפסמ אתל
.1 רפסמ את ךרד וא תורישי :םיכרד יתשב עיגהל ןתינ 2 רפסמ אתל
,n-2 רפסמ אתו n-1 רפסמ את :םיאת ינשמ קר עיגהל ןתינ (n>2 רשאכ) n רפסמ אתל
ןהבש םיכרדה רפסמל הווש n רפסמ אתל עיגהל ןתינ ןהבש םיכרדה רפסמ ןכלו   
.n-2 רפסמ אתל עיגהל ןתינ ןהבש םיכרדה רפסמ דועו n-1 רפסמ אתל עיגהל ןתינ   

ןהבש םיכרדה רפסמ רמולכ ,(ןושארה רביאה אלל) י'צנוביפ תרדס ונינפל העיפומ בוש
.(י'צנוביפ תרדסב n-ה רביאה רמולכ) Fn+1 אוה n רפסמ אתל עיגהל ןתינ


? 64=65

:אבה סקודרפה תא 1858 תנשב גיצה ,עדונה ינקירמאה יאנודיחה ,דיול םס
תא ונקליח .תוצבשמ 64 וחטש רמולכ ,תוצבשמ 8X8 לש עוביר ריוצמ לאמש דצב
ןבלמל שדחמ םתוא ונבכרהו ,םיזפרט ינשו םישלושמ ינש ,םיקלח העבראל עובירה
.תוצבשמ 65 וחטש רמולכ ,תוצבשמ 13X5 לדוגב אוה ןבלמה .ןימי דצב ריוצמה
?תצבשמ הפסונ ךיא


דצב תמלשומ הרוצב זפרטל רבחתמ שלושמה .םייניע תזיחא הנשי ןבלמה לש טוטרשב
,תמלשומ הניא תורבחתהה הדח תיוז שלושמל ובש דצב ךא ,הרשי תיוז שלושמל ובש
רשי וק רצוויש ידכ .רובש וק םא יכ רשי וק וניא ןבלמה לש "ןוסכלאה" רמולכ
תאז קודבל לק .שלושמב הל המיאתמה תיוזל הווש תויהל זפרטב הדחה תיוזה תבייח
.תויוזה יתש לש סנגנטקרא בושיח תועצמאב
arctan(2/5) = 21.801  :זפרטב
arctan(3/8) = 20.556 :שלושמב
רכינ וניאש לדבה ,תולעמ 1.25 לש ןטק לדבה םייק תומיאתמה תויוזה ןיב רמולכ
.הפסונש תצבשמה תרתתסמ ובש רובש וק רצוי ךא ,ןיעל

בל םימש ןיע ידח .5 ,8 ,13 םה וז הדיחבש ןבלמהו עובירה לש תועלצה יכרוא
ונתדיחבש ןבלמהו עובירה לש תועלצה יכרואש הדבועה .י'צאנוביפ תרדסמ עטק והזש
הרדס לש תודחוימה היתונוכת ללש ןיב .תירקימ הניא י'צאנוביפ תרדסמ עטק םה
1-ב לדבנ י'צאנוביפ תרדסב רביא לכ לש ועוביר :האבה הנוכתה םג תינמנ וז
:םייקתמ רמולכ ,וידדצ ינשמש םירביאה תלפכממ


השולש לש הריחב לכ תועצמאב ונתדיחל המודה הדיח רוציל רשפא ךכמ האצותכ
עוביר ונתיי ,לשמל ,144, 233, 377 םירביאה .י'צאנוביפ תרדסמ םיבקוע םירביא
.תחא תצבשמ המלענ אקווד ובש ןבלמ לבקתי ויקלח תבכרהו ותריזג תובקעבש


! 64=63 ,םואתפ המ

ךבדנ ףיסוה ,יאנודיח אוה םג היהו דיול םס אוה םג ארקנש ,דיול םס לש ונב
.תוצבשמ 63 קר הבש הרוצל עובירה יקלח תעברא תא ורדסב ,תמדוקה הדיחל
.םייניע תזיחא ,ןבומכ ,שי הב םגש ,וז הרוצ אצמ

.רונמ ץרפ ידי-לע ילא החלשנש ,הז גוסמ תחא הדיח דוע הנה


11-ב קלחתמ םוכסה

וירחא םיאבש םירפסמה תעשת תא ול ףסוה .י'צאנוביפ תרדסב והשלכ רפסמ רחב
.11-ב תיראש אלל קלחתמ תלביקש םוכסה .וז הרדסב

:איה י'צאנוביפ תרדס לש התליחת :המגוד

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...

.374 = 3411 אוה (הרדסב ישילשה רביאה) 2-ב םיליחתמה םירביאה תרשע לש םמוכס

.דימת הנוכנ וז האצותש חכוה


תא הגיצמ האבה הלבטה .y-ב וירחאש רביאה תאו x-ב תרחבש רביאה ךרע תא ןמסנ
הרושהמ .x וכרעש רביאהמ לחה םירביאה םוכס תאו x-ב לחה םירביאה תרשע יכרע
.11-ב קלחתמ י'צאנוביפ רוטב םיפוצר םירביא הרשע םוכסש תוארל לק הלבטב הנורחאה

םירביאה םוכס
הז רביאל דע
רביאה ךרערביא
x x Fn
x+y y Fn+1
2x+2y x+y Fn+2
3x+4y x+2y Fn+3
5x+7y 2x+3y Fn+4
8x+12y 3x+5y Fn+5
13x+20y 5x+8y Fn+6
21x+33y 8x+13y Fn+7
34x+54y 13x+21y Fn+8
55x+88y 21x+34y Fn+9



© יש דודל תורומש תויוכזה לכ 1998



האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל