האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל

תוירוגתיפ תויצאירו

?שקובמה שלושמה ימ

.םירווש האמ תברקהב ומש לע יורקה טפשמה תחכוה תא גגח סרוגתיפש תרפסמ הדגאה
ךרוא ובש תיוז רשי שלושמב .החמשה תא הריכעהש האצות הררבתה דואמ רהמש אלא
,סרוגתיפ .ילנויצריא רפסמ אוהש , אוה רתיה ךרוא ,1 אוה םיבצינה ינשמ דחא לכ
הוויצ ,םימלש םירפסמ ןיב םיסחיכ רואיתל ןתינ לכהש רמולכ ,"רפסמ לכה" יכ ןימאהש
םיטונה םירוממ ורהזה ,םידימלתו םירווש .וז האצותל עיגהש דימלתה תא רהנב עיבטהל
,הז רופיסש ךכ ,עדיה תבהאבו תונוחמצב ולגד וידימלתו סרוגתיפ) !םיינוציק חור יבצמל
.(סרוגתיפ לש ויתודלות תא ףפואה לופרעה תא ףקשמ ,תירוטסיה תמא ףקשמ אוהשמ רתוי

,"הקיטמתירא" ,סוטנפויד לש ורפסל הכישממ םימלש םירפסמל סרוגתיפ לש ותביח
רעומ םוגרת 1621 תנשב םסריפש ,השאב דולק .םימלש םירפסמב תובושת תושרדנ ובש
והבוגו ויתועלצש שלושמ לע לאושו ,תוחפ טעמב קפתסמ ,"הקיטמתירא" לש תיניטלל
תועלצה תלפכהש םושמ ,וז השירדב הלודג הלקה ןיא השעמל .םיילנויצר םירפסמ םה
.םימלש םירפסמל םיילנויצרה םירפסמה תא ךופהת םהלש ףתושמה הנכמב הבוגהו
,ינורה שלושמ יורק םימלש םירפסמ םה (וחטש םג ןכלו) ויתועלצ לכו והבוגש שלושמ
.הירדנסכלאמ ןורה לש ומש-לע

:דיחיו דחא אוה ונתדיחב םישפחמ ונא ותואש שלושמה ךא ,םיבר שי םיינורה םישלושמ
.םיבקוע םירפסמ העברא לש הרדס םיווהמ ויתועלצו והבוגש ינורה שלושמ אצמ
.םימלש םירפסמ םה ףאש םיקלח ינשל סיסבה תא קלחמ הבוגה :זמר

זמרה תא םג םייקמה שלושמ טרפבו ,ינורה שלושמ רוציל רתויב הטושפה ךרדה
,םימלש םירפסמ ןה םהיתועלצש תיוז ירשי םישלושמ ינשמ ותונבל איה ,ונתדיחבש
ינש רוחבל שי .תירוגתיפ השלש תווהמ םהיתועלצש תיוז ירשי םישלושמ רמולכ
היהיש) ףתושמה בצינה ךרואל םתוא דימצהלו ,ךרוא ותואב בצינ ילעב םישלושמ
.(ינורהה שלושמה לש הבוגה

ינש הליכמה השלש אוצמל לכונ תוירוגתיפה תושלשה תמישר לש התליחתב ןויעמ
ליפכנ ,3, 4, 5 :המישרב הנושארה השלשה תא חקינ .5, 12, 13 :םיבקוע םירפסמ
ךרואל הלא םישלושמ ינש דימצנ .9, 12, 15 :השלשה תא לבקנו 3-ב הירביא תא
.שקובמה ינורהה שלושמה תא לבקנו ,12 וכרואש בצינה



?רתוי לודג שלושמ הזיא

  

ךרוא ינמיה שלושמב .מ"ס 5 קושה ךרוא םהינשב .םייקוש יווש םישלושמ ינש ךינפל
.מ"ס 6 סיסבה ךרוא ילאמשה שלושמבו מ"ס 8 סיסבה
?רתוי לודג שלושמ הזיא לש וחטש

  

החסונה) ןורה תחסונ יפל שלושמה חטש תא בשחל ידכ םינותנ קיפסמ הדיחב שי
תא בשחל ךכ רחאו הבוגה תא בשחל וא ,(ויתועלצ ךרוא יפל שלושמה חטש בושיחל
,סיסבל הבוג שלושמ לכב הנבנש עגרב ?ץמאתהל המל לבא ,הבוגהו סיסבה יפל חטשה
,מ"ס 5-ו ,4 ,3 םהיתועלצ ךרואש תיוז ירשי םישלושמ ינשל שלושמ לכ וניצחש הלגנ
.םחטשב םיווש םינותנה םישלושמה ןכלו


תויבוק תחאו םירשע

'מע) ותבוהאל ןבא תויבוק ןיכמה תתס לע ולש ריאמ רפסמ "רבדמב ותיבב" רפסב
:תתסה לש ורבח תאז ראתמ ךכ .(144

תתס .םהרבא ידידי ךל איבמו ןיכמ ךתיב תוגרדמ לע תוחנומש ןבאה תויבוק תא"  
."ךתבהא תא גישי ךכש רובסו אוה םימתו ריעצ  
...  
.וללה תויבוקה לע ךוסנה דחוימה םסקב" ,הדאראב ףיסוה ",תנחבה יאדווב"  
יחרטת םא ,תינשו ,הכלמה ןבאה ,יכלמ ןבא לש דחא עלסמ ורקונ ןלוכ ,תישאר  
הלודגה הייבוקה לש העוצקמ אוה הייבוק לכ לש ןוסכלאהש ילגת ,ןתוא ידדמתו  
".הנממ  
...  
הבוג ןיבש סחיה ומכ .יפויה לש ותוהמ םצע םהש םיסחיה ןמ אוה הזה סחיה"  
יפנכ תטומ ןיבו היניע ןיב חוורה ןיבש סחיה ומכ ,היכרי ךרואו השא לש החצמ  
םג ךכ .שורבה עזג לש הוולע הסוכמה וקלחו ףושחה וקלח ןיבש סחיה .היתועורז  
".םהרבא ירבח ךל תתיסש םינבאה לש ןהינוסכלאו ןהיתואיפ ןיבש ,הזה סחיה  
...  
דיל וז ןתוא יביצת תאו ,רפסמב תחאו םירשע ,םינבאה לכ תא ךל איביש ירחא"  
רוט ומכ תמייאמ הניאו ינובשחה רוטה ומכ המימשמ הניאש הרדס ילגת ,וז  
".ירטמואיג  

לש העוצקממ רתויב הלודגה הייבוקה לש העוצקמ לודג המכ יפ ,הז רופיסל םאתהב
?רתויב הנטקה הייבוקה

םאה ,"הייבוק לש ןוסכלא" ורמאב ,רורב ןיטולחל אל ,רפסמה ,הדאראב לש וירבדמ
תחא הניפמ רבועה הז ,הייבוקה לש ישארה ןוסכלאל וא האפה לש ןוסכלאל ותנווכ
.תויורשפאה יתשל סחיב הדיחה תא רותפנ ךכיפל .הל תידגנה הניפל הייבוקה לש

ךרוא םא .האפה לש ןוסכלאל הנווכה "ןוסכלא" הלמב היפל תורשפאב ליחתנ
עוצקמה ךרוא סרוגתיפ טפשמ יפל ירה ,1 אוה רתויב הנטקה הייבוקה לש עוצקמה
הייבוק לכ לש העוצקמ ןיב רמשנ הז סחי . אוה הנממ הלודגה הייבוקה לש
רתויב הלודגה הייבוקה לש העוצקמ ןכלו ,הנממ הלודגה הייבוקה לש העוצקמ ןיבו
.רתויב הנטקה הייבוקה לש העוצקממ 20 = 210 = 1024 יפ לודג

,הייבוקה לש ישארה ןוסכלאל איה הנווכה "ןוסכלא" הלמב היפל ,היינשה תורשפאב
טפשמ יפל ןכלו ,ACD תיוז רשי שלושמב רתיה אוה AD ןוסכלאה .המוד ןובשחה
לש העוצקמ ןיבו הייבוק לכ לש העוצקמ ןיב סחיה ךכיפל . וכרוא סרוגתיפ
לודג רתויב הלודגה הייבוקה לש העוצקמ ןכלו , אוה הנממ הלודגה הייבוקה
.רתויב הנטקה הייבוקה לש העוצקממ 20 = 310 = 59049 יפ

תנשב רציש ,"IV חותפ ירטמואג הנבמ" יטסילמינימה לספב העיפומ תויבוק לש הרדס
:(Sol LeWitt) טיו-הל לוס יאקירמאה ןמאה 1990


םלודיג ןכלו ,1, 2, 3, 4,... :תינובשח הרדס םיווהמ וז הריציב תויבוקה לש תועוצקמה
.הנושארה היבוקה לש העוצקממ n יפ לודג n-ה היבוקה לש עוצקמה :רתוי ןותמ


םיעוביר םיעוביר

לע ךכ היורקה ,"סרוגתיפ" תדעסמ תאצמנ למרכה ימורמבש "המרונפ ןד" ןולמב
תמקה ינפל הנש תואמ שמחו םייפלאכ למרכב המ ןמז ררוגתהש בושח חרוא לש ומש
:וז הדעסמב רוקיב תעב יתעמשש החישה וזו .ןולמה

"?164-ו 100 םה ונלביקש םירדחה ירפסמש בל תמש םאה"
"?הלאה םירפסמב דחוימ והשמ שי .ןבומכ"
,172-ו 152 :םיעוביר ינש דוע לבקנ 125 םהל ףיסונ םאו ,82 אוה םהיניב שרפהה ,ןכ"
."תירוגתיפ השלש ונל רצוויתש ךכ
."םיעוביר ינש לבקנ ונירדח ירפסמל ופיסונ םאש רתוי ןטק רפסמ שי"
?םנמואה

רפסמה תא אצמנ אל ,דבלב םייבויחה םירפסמה םוחתל ונישופיח תא םצמצנ םא
.ונאצמנ הרהמב - םיילילש םירפסמל םג ונישופיח םוחת תא ביחרנ םא ךא ,שקובמה
.102-ו 62 :םיעוביר ינש לבקנ ,-64 םירדחה ירפסמל ףיסונ םא


תיוז ירשי םישלושמ רשע השולש הנב

רצח תא וטשיק תיעדמה םייניבה תביטח תודימלתל ךרענש יתצובק הווצמ-תב סקטב
רובעכ .םירטמ 13 ןרות לכ לש והבוג היה האבה הנשל טבמ ךותמו ,םינרת 12 רפסה תיב
רפסה תיב תאש טלחוהו ,תיטמתמה התכה ינבל יתצובק הווצמ-רב סקט ךרענ עובש
וז הרטמל רזחמל ועיצה תיגולוקאה התכה ידימלת .תיוז ירשי םישלושמ 13 וטשקי
ןכרואש תוכיתחל םינרתה תא ךכ םשל רסנלו ,הווצמה-תב סקטב ושמישש םינרתה תא
?םינרתה תא רסנל שי ךיא .םירטמ 5-ו 4 ,3

לש ללוכה ףקיהה ןכלו ,םירטמ 3+4+5=12 אוה ביכרהל ונילעש שלושמ לכ לש ופקיה
רמולכ ,ונתושרבש םינרתה 12 לש ללוכה ךרואה םג והז .םירטמ 156 אוה םישלושמה 13
,תויראש אלל רסנל ןתינ םירטמ 13 וכרואש ןרות .תויראש אלל תושעיהל ךירצ ךותיחה
:תואבה תורוצב קר ,םירטמ 5-ו ,4 ,3 ןכרואש תוכיתחל
13 = 3+3+3+4   :'א גוסמ ךותיח
13 = 3+5+5   :'ב גוסמ ךותיח
13 = 4+4+5   :'ג גוסמ ךותיח

ךותיחב תוטומ y ,'א גוסמ ךותיחב תוטומ x רסנל ונילע ונתרטמ תא םישגהל ידכ
:תואבה תואוושמה עברא ומייקתיש ךכ ,'ג גוסמ ךותיחב תוטומ z-ו ,'ב גוסמ

x+y+z = 12 :ךותיחל תוטומ 12 ונל שי לכה ךסב
3x+y = 13   :םירטמ 3 ןהמ תחא לכ ךרואש תוכיתח 13 רוציל ונילע
x+2z = 13   :םירטמ 4 ןהמ תחא לכ ךרואש תוכיתח 13 רוציל ונילע
2y+z = 13   :םירטמ 5 ןהמ תחא לכ ךרואש תוכיתח 13 רוציל ונילע

.x=3, y=4, z=5 :האצותל איבמ תואוושמה ןורתפ


?יגוז רפסמ אוה וכרואש רתי ןכתיי םאה

.ףתושמ םרוג ןיא הירביא תשולשלש תירוגתיפ השלש איה תיסיסב תירוגתיפ השלש
,תיסיסב השלש הניא 20 ,16 ,12 השלשה וליאו ,תיסיסב השלש איה 5 ,4 ,3 השלשה
:תויסיסב תוירוגתיפ תושלשל המגוד הנה .4 - ףתושמ םרוג שי הירביא תשולשלש םושמ

וא ,תירקמ האצות וז םאה .יגוז-יא רפסמ דימת אוה רתיה ךרואש וז המגודב רכינ
?יגוז רפסמ אוה וכרואש רתי ןכתיי אל תיסיסב תירוגתיפ השלשבש

.יגוז רפסמ אוה z ,x2+y2=z2 האוושמב רמולכ ,יגוז רפסמ אוה רתיה ךרואש חיננ
םייגוז םירפסמ ינש לש םוכס תויהל וילע ןכלו ,יגוז רפסמ אוה z2 םג ךכמ האצותכ
דחא לכ םאש םושמ תלספנ הנושארה תורשפאה .םייגוז-יא םירפסמ ינש לש םוכס וא
,2 - ףתושמ םרוג השלשה יביכרמ תשולשל שי ירה ,יגוז רפסמ אוה םיעובירה תשולשמ
.תיסיסב תירוגתיפ השלש וזש החנהל דוגינב

םירפסמה תא .םייגוז-יא םירפסמ ינש לש םוכס אוה z2 היפל ,היינשה תורשפאה תא ןחבנ
הלאו 1 תיראש םינתונ 4-ב םקלחתהבש הלא :תוצובק יתשל קלחל ןתינ םייגוז-יאה
םא ןיבו הנושארה הצובקל ךייש יגוז-יא רפסמ םא ןיב .3 תיראש םינתונ 4-ב םקלחתהבש
חותיפמ תוארל לקש יפכ ,הנושארה הצובקל ךייש ולש עובירה ,היינשה הצובקל ךייש אוה
,םייגוז-יא םירפסמ ינש לש םיעוביר םוכסכ ,z2 ךכיפל .(4n+3)2 יוטיבהו (4n+1)2 יוטיבה
רפסמ אוה z2-ש עבונ יגוז רפסמ אוה z-ש החנההמ ךא ,4-ב וקלחתהב 2 תיראש ןתונ
.תיראש אלל 4-ב קלחתמה

רתיה ךרואש ןכתיי אל ןכלו ,הריתסל ונתוא הליבוה יגוז רפסמ אוה רתיה ךרואש החנהה
דחא לש וכרוא תיסיסב תירוגתיפ השלשבש איה ךכמ תפסונ האצות .יגוז רפסמ אוה
.יגוז-יא רחאה ךרואו ,יגוז רפסמ אוה םיבצינה


© יש דודל תורומש תויוכזה לכ 1998



האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל