האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל

תויטנפויד תודיח

.םירצמבש הירדנסכלאב לעפש ,תישילשה האמה ןב ינווי יאקיטמתמ היה סוטנפויד
םימלענה רפסמ ןהבש תואוושמב הבחרהב קסע ,"הקיטמתירא" ,ירקיעה ורפסב
.דבלב םימלש םירפסמב תונורתפ ןהל אוצמל שיו ,תואוושמה רפסממ לודג

שי תואוושמל ,תואוושמה רפסממ לודג םימלענה רפסמ תואוושמ תכרעמב רשאכ
תופסונ תושירדו םימלש םירפסמב היהי ןורתפהש השירדה ךא ,תונורתפ ףוסניא
.דיחי ןורתפל ונתוא תואיבמ היעבה יפואמ תועבונה

ןורתפ תורסח תוארנ ןה ןושאר טבמבש ךכב ןלוכ תונייפאתמ הז קרפב תודיחה
איבמ תויטנפויד תואוושמכ הדיחה חוסינ .הדיחב ללכנש ידמ טעומ עדימ בקע
.ןורתפה לא ונתוא

:גניקוה ןביטס רפסמ "ןמזה תודלות רוציק" ורפס חתפב
ךכיפל .תיצחמב ותריכמ תא ץצקת רפסב לולכאש האוושמ לכש יל רמא והשימ"
תאז לכב יתרכזה רבד לש ופוסב לבא ,האוושמ םוש וב לולכל אלש רמוא יתרמג
אל איהש הווקת ינא .E = mc2 ,תמסרופמה ןייטשנייא תחסונ :תחא האוושמ
".יארוק להקמ תיצחמ עיתרת

םירקבמה רפסמ תא דירוהל ידכ תואוושמ קיפסמ ךינפלש ףדב שי ,הז ללכל םאתהב
שי הז רתאבש םיפדה ראשב .שואי לא ,ןאכ דע תעגה םא .ספאל טעמכ הז רתאב
.תואוושמ תוחפ

?ינא המכ תב

"?תא המכ תב"
יתש תלפכממ םיילפכ אוה יליג .וז הלאש לע תולקב תונעל גוהנ אל רבכ יליגב"
."ותוא תוביכרמה תורפסה
?ינא המכ תב

:םייקתמו ,xy תורפסה אוה יליג

y-ל םיירשפאה םיכרעה תעברא תקידב .5-מ הלודג y הרפסהש עבונ הנורחאה הרושהמ
.36 תב ינא ךכיפל .3 וכרעו ,םלש רפסמ אוהש x לבקתמ y=6 רשאכ קרש תנתונ


?יסיכב שי תועבטמ המכ

שי לכה ךסב .תורוגא רשעו לקש יצח ,לקש :םיגוס השולשמ תועבטמ 100 יסיכב
?יסיכב שי גוס לכמ תועבטמ המכ .םילקש 16 יסיכב

Coins, by Deddi Shy :ןמסנ
,תורוגא רשע לש תועבטמה רפסמ = x
,לקש יצח לש תועבטמה רפסמ = y
.דחא לקש לש תועבטמה רפסמ = z

:םייקתמ
x+y+z=100 :תועבטמה לכ ךס
10x+50y+100z=1600 :(תורוגאב) ףסכה לכ ךס
   
10-ב הנושארה האוושמה תא ליפכנ
40y+90z=600 :לבקנו היינשה האוושמהמ תיחפנו
4y+9z=60 :לבקנו 10-ב קלחנ
y לבקתי רתוי םילודג םיכרעלש םושמ ,דבלב 6 דע 1 םוחתב םיכרע לבקל לוכי z
רשאכ קרש לבקנו הנורחאה האוושמל םאתהב z לש םיכרעה תשש תא קודבנ .ילילש
:רמולכ ,x=90 תאז תובקעבו ,6 וכרעו ,םלש רפסמ אוהש y לבקתמ z=4
.דחא לקש לש תועבטמ 4-ו לקש יצח לש תועבטמ 6 ,תורוגא רשע לש תועבטמ 90 יסיכב


לבלובמה דיקפה

תורוגאה רפסמכ םילקש הל ןתנו לבלבתה דיקפה .ק'צ תודפל קנבל הכלה תאיל
5-ב קיטסמ התנקו ףסכה תא החקל תאיל .םילקשה רפסמכ תורוגאו ק'צב תומושרה
.ק'צב םושר היהש םוכסהמ םיינש יפ לודגה ףסכ םוכס הל ראשנש התליג זאו ,תורוגא
?ק'צב םושר םוכס הזיא

:ןמסנ
,ק'צב םושרה םילקשה רפסמ = k
.ק'צב םושרה תורוגאה רפסמ = a
:איה הדיחב רפוסמה תא תפקשמה האוושמה
100a + k - 5 = (100k + a) 2
k = (98a - 5) / 199 :ןכלו

,תורוגא גציימ a-ש ןכו ,םיילילש םניאש םימלש םירפסמ םה k-ו a-ש ונל עודי
םיירשפאה םיכרעה 100 לע רובעל הז תעכ ונל רתונש לכ .99-ל 0 ןיב וכרע רמולכ
תאז יתישע .ילילש וניאש םלש k ,ליעלד האוושמה יפל ,לבקתמ יתמ אוצמלו a לש
םוכסה :האצותה תא יתלביקו Visual Basic-ב הבותכה הנטק תינכות תועצמאב
.לקש 31.63 אוה ק'צב םושרה

הטיש טלחהב וז ךא ,תצקמב בזכאמ ילוא היעבה ןורתפל בשחמב עייתסהל ךרוצה
ללש ךותמ ןורתפה תא דדובל תרחא ךרד ןיאשכ ,תיטנפויד האוושמ ןורתפב הריבס
.םיירשפאה תונורתפה

:ינינפ ןונרא יל חלש התוא ,ןורתפה לא עיגהל תיטנגלא ךרד הנה
:איה הדיחב רפוסמה תא תפקשמה האוושמה
100a + k - 5 = (100k + a) 2
100(a - 2k) = 2a - k + 5 :ןכלו
.הזכ אוה ינמיה ףגאה םג ןכלו ,100 לש הלופכ אוה ילאמשה ףגאה
.300-מ ןטק ינמיה ףגאה ןכלו ,100-מ םינטק a םגו k
:רמולכ ,100-ל הווש ינמיה ףגאה ןכלו ,רדתסמ אל 200-ש תוארהל לק
100(a - 2k) = 2a - k + 5 = 100
a - 2k = 1
a = 2k + 1
2(2k+1) - k + 5 = 100
3k + 7 = 100
k = 31
a = 63
.לקש 31.63 אוה ק'צב םושרה םוכסה :רמולכ


סדמיכראו סרוגתיפ

םילוגדה םיאקיטמתמה ינש ןיב ירה ?הזה שוקשקה המ ...סדמיכראו סרוגתיפ םיחאה
תימלוש לש הרפסב םיעיפומ יול סדמיכראו סרוגתיפ םיחאה .הנש 300-כ תודירפמ
תרצותב םירחוסל ישילש רוד ,אבא" .ונימי לש עבש ראבב שחרתמה ,"ןומוקמ" דיפל
.ומש רוקמ תא יול סדמיכרא ריבסמ ,"בבוח יאקיטמתמ היה ,'זומיל

ןורתפ תועצמאב וא ,"ןומוקמ"-ב אוצמל ולכות הבושתה תא ?יול סדמיכרא המכ ןב
,רוכבה יחא לש וליג עוביר ןיב שרפהה" :ויפב םישל ימצעל השרמ ינאש הדיחה
"?ינא המכ ןב .749 אוה יליג עובירל ,סרוגתיפ

:ןמסנ
,סרוגתיפ לש וליג = x
.סדמיכרא לש וליג = y

:םייקתמ
x2 - y2 = 749
(x+y)(x-y) = 749

:ןכלו
:רמולכ ,749 = 1077 :םיינושאר םימרוג ינשל קרפתמ 749 רפסמה
(x+y)(x-y) = 1077

םימלש םירפסמ םה yx-ש העידיה ךא ,םימלענ ינשב תחא האוושמ ונל שי
:םימלענ ינשב תואוושמ יתש הנממ לבקל ונל תרשפאמ םייבויחו
x+y = 107
x-y = 7

.50 ןב סדמיכראו 57 ןב סרוגתיפ :ןנורתפו

ןתונ אוה ךא ,(x+y)(x-y) = 7491 קוריפל םג סחייתהל שי תומלשה ןעמל
.עבש ראבב ררוגתמ סדמיכרא ובש םלועב םג הריבס הניאש האצות

.םיינושאר םימרוג ינש לש הלפכמ אוהש ,749 רפסמה תריחב אוה וז הדיחב קירטה
.10913 = 1417 ןוגכ ,וז הנוכת לעב רחא רפסמב הז רפסמ ףילחהל רשפאש ןבומ
,םיינושאר םירפסמ ינש לש הלפכמ םה םג םיווהמה םילודג רתוי הברה םירפסמ
.RSA הנפצהה תטיש לש הדוסיב םיאצמנ


?שי תובושת המכ

יתינהנ (תעדל םישקעתמ םתא םא ,1970 תנשב) הבוח תורישב ליח יתייהשכ
,סייו חבש ,תובדנתהב ,ונרדבל אב .ליחה ןעמל דעווה לש ןקתמב שפונ עובשמ
השולש םהמ :התיה הנורחאה ותלאש .קזב ןודיח ונל ךרעו ,תסנכה ר"וי םימיל
םאה .ידמל העודי ,1+2+3 = 123 ,הבושתה ?םתלפכמל הווש םמוכסש םירפסמ
?םייבויח םימלשב רבודמ רשאכ ,הדיחיה הבושתה וזש חיכוהל לכות

.x+y+z = xyz םימייקמ הדיחה תא םירתופש םירפסמה
. לבקנו xyz-ב האוושמה יפגא ינש תא קלחנ
. לבקנו xyz םייקתמש חיננ ןורתפה תויללכב עוגפל ילב
, עבונ תונורחאה תורושה יתשמ
.xy 3 ןכלו
הווש y-ו 1 הווש x רשאכ קר םייקתמ ןורחאה יאנתה ןכלו ,םייבויחו םימלש yx
םייקמ y=2 ןורתפה קרש הארמ תירוקמה האוושמב וז האצות תבצה .3 וא ,2 ,1
.z=3 תאז תובקעבו ,התוא

,Principia Mathematica רפסב ?ילאיווירט ןיינע חיכוהל ידכ םזגומ ץמאמ םכל הארנ
דהטייו 'תרונ דרפלאו לסאר דנארטרב םיפוסוליפה םיסנמ ,20-ה האמה תליחתב בתכנש
םירזומ םינמיס ישודג םידומע 362 רחאל .הקיגולה לע הקיטמתמה תודוסי תא ססבל
.1+1=2 החכוהל רפסה עיגמ

דמחנה ןורתפה תא םג לבקנ ,םימלש ויהי ןורתפב םירפסמהש השירדה לע רתוונ םא
.


םוכסל הווש הלפכמה בושו

םא הרקי המ .םתלפכמל הווש םמוכסש םירפסמ השולשב ונקסע תמדוקה הדיחב
לועפל רשפא ?םתלפכמל הווש םמוכסש םירפסמ ינש שפחנו ,תוחפב קפתסנ
םייבויח םימלשב דיחיה ןורתפהש לבקלו תמדוקה הדיחה לש וזל המוד הקינכטב
,םימלשב ןורתפל השירדה לע רתוונ םא ולבקתי תונורתפ הזיא .2+2 = 22 אוה
?םתלפכמל הווש םמוכסש םייבויח םירפסמ ינש שפחנ רמולכ

:ןכלו ,x+y = xy םימייקמש ,y-ו x ,םייבויח םירפסמ ינש םישפחמ ונא

y = x / (x-1)

.שרדנה יאנתה םייקתיש ךכ ,םיאתמ y וז האוושמ יפל לבקנ x>1 לכל
.םימלשב דיחיה ןורתפה אוהש ,y=2 לבקנ x=2 רובע
3+1.5 = 31.5 םייקתמו y=1.5 לבקנ ,לשמל ,x=3 רובע
1.1<x<10 עטקב תונורתפה תא גיצמ אבה ףרגהו ,תונורתפ ףוסניא שי היעבל


ןורתפ לבקנ ,ילמינימ םוכסה ובש ןורתפה תא שקבנו ,היעבל יאנת ףיסונ םא
.2+2 = 22 בוש אוהש דיחי

.y = x / (x-1) = 1 + 1/(x-1) התאוושמש ,הלוברפיה לש ףנע אוה ונלביקש ףרגה
הבושתל םג םיכסנו ,וניתושירד תא שימגנ םא לבקנ הלוברפיהה לש ינשה ףנעה תא
.0+0=00 :םימלשב ףסונ ןורתפ ללכנ הז ףנעב .םייבויח םניא םירפסמה הבש

© יש דודל תורומש תויוכזה לכ 1998



האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל