האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל

םיפיוזמ תועבטמו תופכ ינזאמ

?ךירצ תולוקשמ המכ

רפס השאב דולק םסריפ ,תיניטלל "הקיטמתירא" תא םגרתש םדוק
םוחתב הפוריאב םסרופש ןושארה רפסה והז .תויטמתמ תודיח לש
:איה רפסב העיפוהש תודיחה תחא .הז

תופכ ינזאמב לוקשל ידכ ץוחנה תולוקשמ לש ירעזמה רפסמה והמ
?40-ל 1 ןיב םימרגוליק לש םלש רפסמ לכ
.תופכה יתש לע תולוקשמה תא םישל ןתינ תופכ ינזאמב :הרהבה
ג"ק 7 לוקשל ןתינ ,ג"ק 5-ו 2 לש תולוקשמ תונותנ ,לשמל ,םא
ג"ק 3 לוקשל ןתינו ,ףכ התוא לע תואצמנ תולוקשמה יתש רשאכ
.תרחא ףכ לע תאצמנ תלוקשמ לכ רשאכ

.ג"ק 4-ל 1 ןיבש לקשמ לכ לוקשל ןתינ ג"ק 3-ו ג"ק 1 לש תולקשמ תועצמאב
.ג"ק 13-ל 1 ןיבש לקשמ לכ לוקשל רשפאי (9=4X2+1) ג"ק 9 לש תלוקשמ ףוריצ
.ג"ק 40-ל 1 ןיבש לקשמ לכ לוקשל רשפאי (27=13X2+1) ג"ק 27 לש תלוקשמ דוע ףוריצ
םימרגוליק לש םלש רפסמ לכ תופכ ינזאמב לוקשל ידכ תולוקשמ עברא תוצוחנ רמולכ
.40-ל 1 ןיב

אוה ןלקשמש ,תולוקשמ n תועצמאב :ןורתפה לש יללכ חוסינל רובעל לק ןאכמ
,תולוקשמה לכ ילקשמ םוכסל 1 ןיבש לקשמ לכ לוקשל ןתינ ,ג"ק 30, 31, 32, ... 3n-1
.(3n-1)/2 ןיבל 1 ןיבש לקשמ לכ ,יסדנה רוט םוכסל החסונה יפל ,רמולכ


?ףיוזמה עבטמה ימ

תועצמאב ,םיניקת תועבטמ ןיב ףיוזמ עבטמ לש רותיאב תוקסוע רופסמ תובר תודיח
תאוושה לש ךרדב קר אלא ,תולוקשמ אלל) תופכ ינזאמב תוליקש לש ילמינימ רפסמ
תילקיזיפ הטיש ,היטבמאב ההשש ןמזב ,אצמ סדמיכרא רשאכ .(תועבטמה ילקשמ
הלא תודיח רותפל שי ךכיפל "!יתאצמ" ארקו בוחרל םוריע ץרפ ,ףיוזמ עבטמ יוהיזל
.תמיוסמ תוריהזב

,לידבב ףסכהמ קלח תפלחה תועצמאב ףיוז םהמ דחאש ,ףסכ תועבטמ הנומש ונתושרב
יתש תועצמאב ףיוזמה עבטמה תא רתאנ ךיא .ןיקת עבטממ תוחפ לקוש אוה ןכלו
?תופכ ינזאמב דבלב תוליקש

.תרחאה ףכה לע תועבטמ השולשו ,םינזאמה לש תחא ףכ לע תועבטמ השולש םישנ
:תואצות יתש תוירשפא וז הנושאר הליקשל
ופתתשה אלש תועבטמה ינש ןיב אצמנ ףיוזמה עבטמהש ןמיס ,םינזואמ םינזאמה םא
ףכה .הינשה ףכה לע ינשה תאו תחא ףכ לע הלא תועבטמ ינשמ דחא םישנ .הליקשב   
.ףיוזמה עבטמה תא הליכמ םמורתתש   
ףכבש תועבטמה תשולש ןיב אצמנ ףיוזמה עבטמה ,םינזואמ םניא םינזאמה םא
.םינזאמה תועצמאב םהיניב הוושנו הלא תועבטמ השולשמ םיינש חקינ .הממורתהש   
,םינזואמ םניא םינזאמה םא .ףיוזמה אוה ישילשה עבטמה ,םינזואמ םינזאמה םא   
.ףיוזמה אוה רתוי לקה עבטמה   

רתאל שורדנ רמולכ ,תחשה תמירע תא טעמב לידגנ םא ,רזומ הארנ רבדהש המכ דע
רתוי הלק היהת הדיחה ,תועבטמ העשת ןיב אלא תועבטמ הנומש ןיב אל ףיוזמ עבטמ
תירטמיס הליקשל ונתוא הנפמ תועבטמ הנומש ןיב שופיחש איה ךכל הביסה .ןורתפל
שופיח .ןורתפל הליבומ הניאש הליקש ,תועבטמ העברא תמועל תועבטמ העברא לש
איהש ,תועבטמ השולש תמועל תועבטמ השולש לש הליקשל הנפמ תועבטמ העשת ןיב
.ןורתפה תליחת

:חוסינל רתוי לק םג ןורתפה ,תועבטמ העשת ןיב ףיוזמ עבטמ רתאל שי רשאכ
תועבטמ השולשו ,םינזאמה לש תחא ףכ לע תועבטמ השולש םישנ הנושאר הליקשל
תשולש ןיב אצמנ ףיוזמה עבטמהש ןמיס ,םינזואמ םינזאמה םא .תרחאה ףכה לע   
ףיוזמה עבטמה ,םינזואמ םניא םינזאמה םאו ,הליקשב ופתתשה אלש תועבטמה   
המצמטצה היעבה ,הרקמ לכב .הממורתהש ףכבש תועבטמה תשולש ןיב אצמנ   
.תועבטמ השולש ןיב ףיוזמ עבטמ רותיאל   
חקינ .םהיניב אצמנ ףיוזמה עבטמהש תועבטמה תשולש ופתתשי היינשה הליקשב
םינזאמה םא .םינזאמה תועצמאב םהיניב הוושנו הלא תועבטמ השולשמ םיינש   
לקה עבטמה ,םינזואמ םניא םינזאמה םא .ףיוזמה אוה ישילשה עבטמה ,םינזואמ   
.ףיוזמה אוה רתוי   

n-ב יד תועבטמ 3n ברקב ףיוזמ עבטמ רותיאל :תיללכ הנעטל רובעל לק הז ןורתפמ
םדוק ויהשמ שילשל םידושחה תועבטמה רפסמ תא תמצמצמ הליקש לכ .תוליקש
.הליקשה

הליקשב םיפתתשמה תועבטמה ,הדיחה לש תויצאירווה יתשב ,ליעל תראותמה הטישב
עבטמה יוהיזל הטיש תעכ גיצנ .הנושארה הליקשה תואצות יפל םיעבקנ היינשה
תא ןמסנ .שארמ םיעבקנ תוליקשהמ תחא לכב םיפתתשמה תועבטמה הבש ,ףיוזמה
.00, 01, 02, 10, 12, 20, 21, 22     :םיאבה םירפסמב תועבטמה הנומש
.(11-ב יעישתה עבטמה תא ןמסנ ,תועבטמ העשת שי הבש היצאירווב)

תילאמשה הרפסהש תועבטמה לכ תא םינזאמה לש תחא ףכ לע םישנ הנושארה הליקשב
לש תילאמשה הרפסהש תועבטמה לכ תא םישנ תרחאה ףכה לעו ,0 איה םרפסמ לש
ףיוזמה עבטמה לש ורפסמב תילאמשה הרפסה ,םינזואמ םינזאמה םא .2 איה םרפסמ
ףיוזמה עבטמה לש ורפסמב תילאמשה הרפסה ,םינזואמ םניא םינזאמה םאו ,1 איה
יפ לע המוד הלועפ עצבנ היינשה הליקשב .הממורתהש ףכל המיאתמה הרפסה איה
לש ורפסמ תא לבקנ תוליקשה יתש תובקעב .תועבטמה ירפסמ לש תינמיה הרפסה
לכש החיטבמ איהש ךכמ תעבונ תועבטמה רופסמ תטיש לש התחלצה .ףיוזמה עבטמה
תוצובק שולש ןיב ורזפתי הנושארה הליקשב תחא הצובקב ויהש תועבטמ השולש
.היינשה הליקשב

הליקשב ףתתשמ וניא הז עבטמ .12 ורפסמש הז אוה ףיוזמה עבטמהש חיננ :המגוד
.1 ךכיפל איה לבקנש תילאמשה הרפסהו ,תונזואמ םינזאמה תופכ ןכלו ,הנושארה
2 איה םרפסמ לש תינמיה הרפסהש תועבטמה תא הליכמש ףכה היינשה הליקשב
.2 ךכיפל איה לבקנש תינמיה הרפסהו ,םמורתת

ןמסנ תועבטמ 3n ברקב ףיוזמ עבטמ רותיאל :יללכ ןורתפל רובעל ןתינ הז ןורתפמ םג
:רתוי ינכט חוסינב) דבלב 2-ו 1 ,0 תורפסהמ בכרומה תורפס n ןב רפסמב עבטמ לכ
םאתהב תוליקש n עצבנ .(3 סיסב יפל הריפס תטישב 0-מ לחה תועבטמה תא רפסמנ
עבטמה לש ורפסמב האבה הרפסה תא ונל תנתונ הליקש לכ .ליעל תראותמה הקינכטל
.ףיוזמה


ףיוזמ עבטמ דוע

םה .ןיקת עבטמל והארמב ההז היהי ףיוזמה עבטמהש םידיפקמ תועבטמ ינפייז
םילק םיפיוזמ תועבטמ אוצמל ןתינ ךכו ,לקשמב תוהז לע תוחפ תצק םידיפקמ
.ןיקת עבטממ םידבכ םיפיוזמ תועבטמו ןיקת עבטממ

תוחפ לקוש אוה םאה ונל עודי אלו ,ףיוזמ םהמ דחאש ,תועבטמ רסירת ונתושרב
תועצמאב ףויזה גוס תאו ףיוזמה עבטמה תא ההזנ ךיא .ןקתהמ רתוי וא ןקתהמ
?תופכ ינזאמב דבלב תוליקש שולש

ןייצמ בוהצ ןבלמ .ףויזה גוסו ףיוזמה עבטמה יוהיזל ךרדה תא הארמ אבה םישרתה
ןבלמו ,הליקשה תובקעב םינזאמה בצמ תא תונייצמ תומודא תויתוא ,הליקש תלועפ
.הז בצממ תעבונה הנקסמה תא ןייצמ לוחכ

םיעבקנ הליקש לכב םיפתתשמה תועבטמה וז הדיחב םג ,תמדוקה הדיחל המודב
,ףיוזמה עבטמה יוהיזל הטיש תעכ גיצנ ןאכ םגו ,תמדוקה הליקשה תואצותל םאתהב
רסירת תא ןמסנ .שארמ םיעבקנ תוליקשהמ תחא לכב םיפתתשמה תועבטמה הבש
:םיאבה םירפסמב תועבטמה

.001, 010, 011, 012, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 220

תילאמשה הרפסהש תועבטמה לכ תא םינזאמה לש תחא ףכ לע םישנ הנושארה הליקשב
לש תילאמשה הרפסהש תועבטמה לכ תא םישנ תרחאה ףכה לעו ,0 איה םרפסמ לש
:םינזאמה בצמ יפל תעבקנ ףיוזמה עבטמה לש ורפסמב תילאמשה הרפסה .2 איה םרפסמ
,1 איה הרפסה ,םינזואמ םינזאמה םא -
,0 איה הרפסה ,תדרוי תילאמשה םינזאמה ףכ םא -
.2 איה הרפסה ,תדרוי תינמיה םינזאמה ףכ םא -

לבקנו תועבטמה ירפסמ לש תיעצמאה הרפסה יפל המוד הטישב לעפנ היינשה הליקשב
וז ךרדב לבקנ תישילשה הליקשבו ,ףיוזמה עבטמה לש ורפסמב תיעצמאה הרפסה תא
.ףיוזמה עבטמה לש ורפסמב תינמיה הרפסה תא

,ףיוזמה עבטמה לש ורפסמ והז ,תועבטמה ירפסמ תמישרב אצמנ ונלביקש רפסמה םא
שי ,תועבטמה ירפסמ תמישרב אצמנ וניא ונלביקש רפסמה םא .ידמ דבכ עבטמ אוהש
ורפסמ תא לבקנו ,0 הרפסב 2 הרפסה תאו 2 הרפסב 0 הרפסה תא הז רפסמב ףילחהל
.ידמ לק אוהש ףיוזמ עבטמ לש

וז הטישב רתאל רשפא תוליקש n תועצמאב :יללכ ןורתפל רובעל ןתינ הז ןורתפמ
.תועבטמ (3n-3)/2 ברקב ףיוזמ עבטמ


סיליו סורב התוא קחש

סורב) ןיילקמ ןו'ג רטושה םישרדנ "3 תויחל תמ" טרסב
לעב ףרטצהש ,(ןוסק'ג לאומס) רבראק סוז רחוסהו (סיליו
:האבה הדיחה תא תוזירזב רותפל ,ןיילקמ לא וחרוכ
השולש לש לכימו רטיל השימח לש לכימ םילבקמ םיינשה
לש רטיל העברא קוידב םתועצמאב דודמל םהילעו רטיל
הצצפ לש התוצצופתה תא עונמל ידכ ,(זרב םדיל שי) םימ
.םוקמב הנמטוהש

?לוכי התא םג םאה .המישמב ודמע םיינשהש ןבומ



העיפוה הנושארל ךא ,(סנורייא ימר'ג) "ןומייס" ,טרסה לש לבנה גיצמ הדיחה תא
יתפרצ אפור ,(Nicolas Chuquet) הקוש סלוקינ לש ורפסב ,1484 תנשב רבכ הדיחה
.הקיטמתמב םג קסעש

.םיירשפא םידעצ 20 ןיבמ ןושארה ודעצ תא רוחבל חתופה ןקחשה לע טמחשה קחשמב
םימב אלמל :םיירשפא החיתפ ידעצ ינש קר שיש םושמ ,רתוי טושפ בצמה ונתדיחב
הנה .םירטילה תשולש לש לכימה תא םימב אלמל וא םירטילה תשמח לש לכימה תא
.םיירשפאה החיתפה ידעצ ינשמ דחא לכל םימיאתמה תונורתפ ינש

:ןושאר ןורתפ
.םירטילה תשמח לש לכימה תא םימב אלמל
תרבעה תועצמאב ,םירטילה תשולש לש לכימה תא םימב אלמל
םירטילה תשמח לש לכימב .םירטילה תשמח לש לכימהמ םימה   
.םימ לש םירטיל ינש םירתונ   
ינש תא וילא ריבעהלו םירטילה תשולש לש לכימה תא ןקורל
.םירטילה תשמח לש לכימב ורתונש םירטילה   
.םירטילה תשמח לש לכימה תא םימב אלמל בוש
תשולש לש לכימל םירטילה תשמח לש לכימהמ םימ ריבעהל
דחא רטיל הריבעמ וז הלועפ .אלמתי לכימהש דע ,םירטילה   
םירטיל העברא וב הריתומו םירטילה תשמח לש לכימהמ םימ   
.שרדנכ ,םימ לש   

:ינש ןורתפ
.םירטילה תשולש לש לכימה תא םימב אלמל
.םירטילה תשמח לש לכימל םירטילה תשולש לש לכימהמ םימה לכ תא ריבעהל
.םירטילה תשולש לש לכימה תא םימב אלמל בוש
לכימהש דע ,םירטילה תשמח לש לכימל םירטילה תשולש לש לכימהמ םימ ריבעהל
תשולש לש לכימב םימ דחא רטיל הריאשמ וז הלועפ .אלמתי םירטילה תשמח לש   
.םירטילה   
לכימב רתונש רטילה תא וילא ריבעהלו םירטילה תשמח לש לכימה תא ןקורל
.םירטילה תשולש לש   
.םירטילה תשולש לש לכימה תא םימב אלמל בוש
.םירטילה תשמח לש לכימל םירטילה תשולש לש לכימהמ םימה לכ תא ריבעהל
.שרדנכ ,םימ לש םירטיל העברא תעכ שי םירטילה תשמח לש לכימב   

ונא ,רוכזכו) םידעצ תוחפ וב שיש םושמ ינשה ןורתפה לע ףידע ןושארה ןורתפה
בוטה אוה ןושארה ןורתפה םאה .םימ תוחפ ךרוצ אוהו (תקתקתמ הצצפב םיקסוע
תקידב ?םינוירטירקה ינשמ דחאב תוחפל ,ףידע ןורתפ שיש וא ,ירשפאה רתויב
לכש הארמ ,המישמה עוציבל םיירשפאה םידעצה רואל ,ליעלד תונורתפהמ דחא לכ
.ולש החיתפה דעצל םיאתמה רתויב בוטה אוה הלא תונורתפמ דחא


?םיפיוזמה תועבטמה םיאצמנ תיקש וזיאב

,םרג הרשע עבטמ לכ לש ולקשמ .תועבטמ הרשע ןהמ תחא לכבש תויקש רשע ךתושרב
.דבלב םרג העשת םהמ דחא לכ לקשמש ,םיפיוזמ תועבטמ הליכמ תויקשה תחא ךא
םיחנומה תועבטמה לש (םימרגב) קיודמה לקשמה תא םיארמש םיינזאמ ךתושרב
תועבטמה םיאצמנ תיקש וזיאב ,דבלב תחא הליקש תועצמאב ,תעדל לכות ךיא .םהילע
?םיפיוזמה

ינש חק היינשה תיקשהמ ,דחא עבטמ חק הנושארה תיקשהמ .הרושב תויקשה תא רדס
לכ תא לוקש .תועבטמ הרשע חק הנממש ,תירישעה תיקשה דע האלה ךכו ,תועבטמ
.1+2+...+9+10=55 הווש םלקשמ היה ,םיניקת ויה תועבטמה לכ ול .תחקלש תועבטמה
הבש תיקשה לש הרפסמ אוה םיינזאמה םיארמש לקשמה ןיבו הז לקשמ ןיב שרפהה
.םיפיוזמה תועבטמה םיאצמנ


© יש דודל תורומש תויוכזה לכ 1998



האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל