כמה שנים חי דיופנטוס?

לא הרבה ידוע לנו על קורות חייו של דיופנטוס. מעט ניתן ללמוד מהכתובת שהופיעה על קברו והגיעה אלינו באמצעות "האנתולוגיה היוונית":

שישית מחייו בילה כילד,
עוד 1/12 מחייו עבר כנער.
כעבור עוד שביעית מחייו נשא אישה,
וחמש שנים לאחר נישואיו נולד לו בן.
הגורל האכזר הביא למות הבן כאשר הגיע לגיל השווה למחצית כל חיי אביו.
ארבע שנים לאחר מות הבן מת דיופנטוס.

זו למעשה שאלה פשוטה באלגברה, וכל שצריך הוא לתרגם את סיפור החידה למשוואה בנעלם אחד. נסמן ב-L את משך חייו של דיופנטוס, ונתרגם את הכתובת שעל קברו למשוואה המתאימה:
:
L = L/6 + L/12 + L/7 + 5 + L/2 + 4
ומכאן L = 84.

אם נתייחס לחידה זו כבעיה העוסקת במספרים שלמים (כמקובל ביחס למשוואות דיופנטיות), נגיע לתוצאה בדרך אחרת: החידה מדברת על שישית מחייו של דיופנטוס, על 1/12 מחייו ועל שביעית מחייו, ולכן משך חייו של דיופנטוס הוא מספר המתחלק ללא שארית ב-6, ב-12 וב-7, והמספר הקטן ביותר המקיים תנאי זה הוא 84. נותר לוודא שמתקיימים התנאים הנוספים: הבן מת כשדיופנטוס היה בן 80, ומכאן שהבן היה בן 40 במותו, ונולד כאשר דיופנטוס היה בן 40. דיופנטוס נישא בגיל 35, וחמש שנים לאחר נישואיו נולד לו בן, כלומר הבן נולד כשדיופנטוס היה בן 40, כנדרש.

עוד בעית גילים משפחתית

כאשר אגיע לגילו של אבי כעת, אהיה מבוגר פי חמישה מגילו של בני כעת, ובני יהיה מבוגר בשמונה שנים מגילי כעת. סכום הגילים שלי ושל אבי הוא מאה שנה. בן כמה בני?

גם כאן, הבעיה העיקרית היא לתרגם את כתב החידה למשוואות המתאימות.
נסמן: M - גילי, F - גיל אבי, S - גיל בני.

"כאשר אגיע לגילו של אבי כעת, אהיה מבוגר פי חמישה מגילו של בני כעת",

כלומר גיל אבי גדול פי חמישה מגיל בני: F = 5S

כלומר: S + (F - M) = M + 8

כלומר: F + M = 100

בן כמה הסבא?

סבא ונכדו חוגגים את יום הולדתם באותו יום.
באחת ממסיבותיהם המשותפות אמר הסבא לנכדו: "זו השנה השישית ברציפות שגילי הוא כפולה שלמה של גילך".
"למה אתה מתכוון?" שאל הנכד המחונן.
"בכל ששת ימי ההולדת האחרונים שלנו, גילי ביום ההולדת מתחלק ללא שארית בגילך ביום ההולדת".
בן כמה הסבא?

רצף הגילים הנמוך ביותר של הנכד שעשוי לקיים את התנאים הנדרשים הוא הגילים 1 עד 6.
בהנחה שהנכד הוא כעת בן 6, ננסה למצוא את גיל הסבא כעת, כלומר נחפש גיל שהוא כפולה של 6 ומקיים את המאפיין שקבע הסבא.
בדיקת כפולות של 6 מביאה אותנו לגיל 66, שבו אכן מתקיימים כל התנאים, כלומר הסבא בן 66.

בני כמה הילדים?

בעת שטיילתי ברחוב פגשתי את ידידי מנוער, וזו השיחה שהתנהלה בינינו:
"יש לי שלושה ילדים, ומכפלת גיליהם היא 63".
"מכאן איני יכול לדעת מה גילו של כל אחד מהם".
"כמובן. סכום גיליהם שווה למספר הבית שלידו אנו עומדים".
"עדיין חסר לי נתון אחד".
"היום הוא יום הולדתו של בני הבכור".
בני כמה הילדים?

כל נתון בשיחה מקדם אותנו לקראת פתרון החידה. הנתון הראשון, מכפלת גילי הילדים, נותן שמונה אפשרויות לגיליהם, בהתאם לטבלה הבאה:

סכום הגילים	גיל הילדים
	ילד ג	ילד ב	ילד א
38	1	1	36	1
21	1	2	18	2
16	1	3	12	3
14	1	4	9	4
13	2	2	9	5
13	1	6	6	6
11	2	3	6	7
10	3	3	4	8

העובדה שידיעת סכום הגילים אינה מאפשרת לדעת את גיל הילדים מצמצמת את האפשרויות לשתיים בלבד, אפשרויות 5 ו-6 בטבלה, שלשתיהן אותו סכום גילים (בכל אפשרות אחרת, סכום הגילים מכתיב פתרון יחיד).

העובדה שרק הבן הבכור חוגג היום את יום הולדתו מותירה את אפשרות 5 בלבד, שהרי באפשרות 6 שני הילדים הראשונים חוגגים יחדיו את יום הולדתם.