האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל

תוקזח תוקזח

תיעוביר הדימריפ

,הרשע-עשתה האמה ןב ,עדונה ילגנאה תודיחה רבחמ לש וטע ירפ איה האבה הדיחה
:ינידוד טסנרא ירנה
ךכ ,"תיעוביר הדימריפב חתותה ירודכ תא רדסל םכילע ףולאה לש ורוקיב תארקל"
.פ"מה לע םינחתותה ד"גמ דקפ
,"םירצמב תודימריפה תמגודכ ,עוביר אוה הסיסבש הדימריפ איה תיעוביר הדימריפ"
.הדוקפה תא דימ עצבל וזפחנש ,וילייחל פ"מה ריבסה

הארש רחאל ד"גמה רמא ,"יעוביר הסיסבש הדימריפב קפתסמ יניא"
."םירודכ לש יעוביר רפסמ ליכהל םג הדימריפה לע" .הדימריפה תא

,הנה" :תירשפא יתלב המישמהש רמאו פ"מה רזח המ ןמז רחאל
,םירודכ 9 םהילעמ ,םירודכ 16 ליכמ סיסבה ,ונינבש הדימריפב
םג .םירודכ 30 לכה-ךסבו ,דוקדוקב דחא רודכו םירודכ 4 םהילעמ
רפסמ וניא םירודכה לכ ךס ונקדבש הדימריפ לש רחא הבוג לכב
."יעוביר

,ותשירד לע ףקותב ד"גמה דמע ,"ףולאה לש רוקיבב רבודמש רוכז"
,םירודכ לש יעוביר רפסממ היונבש תיעוביר הדימריפל רושקש המבו"
."'הצור אל' קר שי - 'לוכי אל' ןיא

יהוז" :המדאה לע ותוא חינהו דדוב רודכ חקל ,תונוריט םייס התע הזש ,רימת ט"בר
.הוואגב רמא ,"עובירב 1 אוה הב םירודכה רפסמש תיעוביר הדימריפ
דחא רודכ" ,ד"גמה קעצ ,"האיציב העש ךל הלעת תאזה תומכחתהה ,רימת ט"בר"
."הדימריפ וניא

?ד"גמה לש ותשירד תא אלמל ולכות םאה

S = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 םיעובירה רוט םוכס ורובעש הזכ n םישפחמ ונא
ואיביש אלפומ ךרד רוציק וא םתירוגלא ,החסונ שפחל תוסנל רשפא .עוביר אוה ףא
הקידב איה ןנורתפל הריהמה ךרדהש תודיח שי םימעפל ךא ,ןורתפה לא ונתוא
תועצמאב תאז השענ .שקובמה ןורתפה תאיצמל דע ,תוירשפאה תואצותה לש תיתרדס
:יעוביר רפסמ אוהש S ורובע לבקתמ םאה n לכל קודבתש המיאתמ בשחמ תינכות


:הדימריפב תומוקה רפסמ
:הדימריפב םירודכה רפסמ

702 = 4900-מ היונב איהו ,תומוק 24 שי תושירדה לע הנועה הדימריפלש הארמ תינכותה
חילצתש ןכתיי ךא ,תאז חיכוהל לכות אל בשחמ תינכות ?דיחיה ןורתפה הז םאה .םירודכ
הבושתה תא עדוי וניאש הדיחל ונורתפב ןייצמ ינידוד .(הזכ שי םא) ףסונ ןורתפ אוצמל
.דואמ לודג אוה ,הזכ ןורתפ שי םא ךא ,ףסונ ןורתפ ןיא ותכרעהלש ףיסומו ,וז הלאשל


םיבקועמ לש םוכס

הפטעמ ,עדונה יטירבה יאקיטמתמה ,ידראהל רוודה איבה 1913 תליחתב דחא רקוב
,תרבחמב .ןא'גונמר םשב ינומלא ידוה דיקפ תאמ החלשנש תרבחמ הבו הלודג
םירכומ ויה אלש םיטפשמ םגו םיעודי םיטפשמ ויה ,ןפוד אצוי היה הנונגסש
לע דמעש ,ידראה .וז ותריצי לע ידראה לש ותעד תווח תא שקיב בתוכה .ידראהל
הלועפה ףותיש לחה ךכ .'גדירבמייקל ןא'גונמר תא ןימזה ,בתוכה לש ותוינואג
םיפסונ םימוחתבו םירפסמה תרותב תומישרמ תואצות בינהש ,ןא'גונמרל ידראה ןיב
.הקיטמתמה לש

ןילוח תחישב חתפ ,ורקבל אבש ,ידראה .תפחשב ןא'גונמר הלח תודחא םינש רובעכ
רפסמ יל הארנ הז .1729 היה ןאכל יתוא האיבהש תינומה לש הרפסמ" :רמאו
הז .דחוימב ןיינעמ רפסמ הז" ,ןא'גונמר ביגה ,"אל ,ידראה ,אל" ."דואמ םמעשמ
."תונוש םיכרד יתשב םיבקועמ ינש לש םוכסכ וגיצהל רשפאש רתויב ןטקה רפסמה

:תולאש שולשל הליבומ וז החיש
?ןא'גונמר ןווכתה םיבקועמ םירפסמ הזיאל
ידראהו ןא'גונמרל וילאמ ןבומ היהש יאנת ,יומס יאנת רתתסמ ןא'גונמר לש וירבדב
יאנת" הזכ יאנתל םיארוק ןידה יכרוע) שרופמב ותוא רמול ךרוצ היה אל ןכלו   
תא םייקמש 1729-מ ןטק רפסמ אוצמל לכונ ,הז יומס יאנת ריסנ םא .("אללכמ   
םיכרד יתשב םיבקועמ ינש לש םוכסכ וגיצהל רשפא רמולכ ,ןא'גונמר רמאש יאנתה   
?רתוי ןטקה רפסמה והמו יומסה יאנתה והמ .תונוש   
יתשב םיבקועמ ינש לש םוכסכ וגיצהל רשפאש" רתויב ןטקה רפסמה אוה 1729
?הז יאנת םימייקמש ,1729 רחאל ,םיאבה םירפסמה ימ ."תונוש םיכרד   


םירפסמה תאיצמל איבמ םיבקועמה םירפסמה לש המישרה תליחתב רצק ןויע
:םישקובמה   

n123456789101112
n3  1  8 27 64125216343512729100013311728

13 + 123 = 1 + 1728 = 1729          93 + 103=729 + 1000 = 1729   

רבודמ םהילעש םירפסמה לכש אוה ןא'גונמר לש וירבדב רתתסמש יומסה יאנתה
תינומ לש הרפסמש תנתונ תעדה .(םייבויחו םימלש רמולכ) םייעבט םירפסמ םה   
,םיילילש תויהל הז רפסמ ןתונ םמוכסש םיבקועמל ריתנ םא ךא ,יעבט רפסמ אוה   
.שרופמב רמא ןא'גונמרש יאנתה תא םימייקמה 1729-מ םינטק םידחא םירפסמ אצמנ   
:אוה הלא ןיבמ רתויב ןטקה   

53 + 33 = 125 + 27 = 152          (-4)3 + 63 = -64 + 216 = 152   

יתשב םיבקועמ ינש לש םוכסכ םגיצהל רשפאש םירפסמ" אוצמל שרודה רגתאה תא
תוריהמב עודי היהש ,(Frenicle) לקינרפל המרפ הנושארל גיצה "תונוש םיכרד   
אלל ףא הז גשיהל עיגהל ןתינ םויה .תומיאתמ תואצות שמח ןתנ לקינרפו ,ויבושיח   
ןכאש אדוול ונל רשפאת םגש ,הנטק בשחמ תינכות תועצמאב ,לקינרפ לש וירושיכ   
(1729 רחאל) תונושארה היתואצות .יאנתה תא םייקמש רתויב ןטקה רפסמה אוה 1729   
:וז תינכות לש   

23 + 163 = 8 + 4096 = 4104 93 + 153 = 729 + 3375 = 4104
23 + 243 = 8 + 13824 = 13832 183 + 203 = 5832 + 8000 = 13832
103 + 273 = 1000 + 19683 = 20683 193 + 243 = 6859 + 13824 = 20683

רובע היעב התואל הבושתה ול העודי םאה ןא'גונמר תא ידראה לאש םתחיש ךשמהב   
ודידי היה םייעבטה םירפסמהמ דחא לכ יכ וילע רמאנש ,ןא'גונמר .תיעיבר הקזח   
לודג תויהל בייח שרדנה רפסמה ךא ,הבושתה תא עדוי וניאש הנעו עגר בשח ,ישיאה   
,הבושתה תא אוצמל ןויסנב תודחא תועש הבשח ילש הנטקה בשחמה תינכות .דואמ   
:דואמ לודג רפסמ ןכא איה הבושתה .יתונלבס העקפש דע   
594 + 1584 = 1334 + 1344 = 635,318,657

הנה - ךכב םתענכתשה אל םא ךא ,דחוימב ןיינעמ רפסמ אוה 1729-ש הארה ןא'גונמר
םימתירגולה סיסב ,e יטנדנצסנרטה רפסמה לש ינורשעה גוצייב ןויע :ףסונ קומינ
הנושארה םעפה וז .0719425863 תורפסה תועיפומ 1729-ה םוקמב לחהש הלגמ ,םייעבטה
.תורזח אלל e רפסמב תופיצרב תועיפומ תורפסה רשע לכש


?רתוי לודג שרוש הזיא

ןתח ,ןמנייפ דר'צירש םילגמ "!ןמנייפ רטסימ ,ץצולתמ חטב התא" רפסה יארוק
דחאב .בבוש םדא םג אלא לוגד יאקיזיפ קר אל היה ,1965 תנשל הקיזיפל לבונ סרפ
םיבושיח עצבל ותלוכיב ותוא םיבבוסה תא םיהדהל ןמנייפ גהנ דציכ רפוסמ םיקרפה
ינפי לומ בושיח תורחתל ןמזוה ליזרבב הדעסמב דעסש תעב .הפ-לעב םיכבוסמ
.הז ילכ תועצמאב םיבושיח עוציבב ותוזירז תא ןיגפהל הצרו הינובשחב שמתשהש
,תורחתה אישו ,וקית רצונ קוליחב ,רתוי ריהמ ינפיה היה לפכהו רוביחה תורחתב
ןמנייפ היה וז תכבוסמ הלועפב .בקועמ שרוש תאצוה היה ,ינפיה ידי-לע עצוהש
.ינפיהמ רתוי הברה זירז

:בקועמ שרושב הרושקה תינובשח תוזירזל התא םג שרדית האבה הדיחב
.תינורשעה הדוקנל ןימימ תישילשה הרפסב קר ליחתמ םירפסמה ןיב ינושה
.רתוי לודג םהינשמ ימ אצמ (הינובשחב אל םגו) ןובשחמב שמתשהל ילב ,תאז לכב


:לבקנו ,30 תקזחב םירפסמהמ דחא לכ הלענ

. > ןכלו


תודלותב רתויב תומסרופמה תויעבה תחאל ונאיבמ רפסמה
הנותא תא הדקפ הדבכ הפיגמ .יפלדב חבזמה תיעב ,הקיטמתמה
לקרואה לא תחלשמ וחלש ריעה ינב .הריפסה ינפל תישימחה האמב
התיה לקרואה תבושתו ,הפיגמה תא רוצעל רשפא דציכ ררבל ידכ יפלדב
תא וליפכה םיאנותאהו ,היבוק תרוצב היה חבזמה ."ולופא חבזמ תא וליפכה"
ולידגה ירהש ,םתועט תא םיאנותאה וניבה ,הלדח אל הפיגמה רשאכ .העלצ ךרוא
עלצה ךרוא תא לידגהל שי לקרואה תצע תא אלמל ידכ .הנומש יפ היבוקה חפנ תא
המישמ ,הנותנ היבוק חפנמ לופכ החפנש היבוק תונבל רשפא דציכ . יפ קר
,הירטמואיגב םילבוקמה םילכב ,ןותנ עטקמ יפ לודג עטק תיינבל הלוקשה
היינב תויעב יתש דועל הפרטצה וז היעב ?דבלב הגוחמו לגרס תועצמאב רמולכ
לוגיעל וחטשב הוושה עוביר תונבל דציכ :םיאנותאה תא וקיסעהש תוירטמואיג
עצבל שי הלא תוינב יתש םג) תווש תויווז שולשל יהשלכ תיווז קלחל דציכו ןותנ
ימי לש תויעבה" םשב ועדונש ,הלא תויעב שולש .(דבלב הגוחמו לגרס תועצמאב
םינומדקה םינוויה רבכ .הירטמואיגה תוחתפתהל המוצע תובישח תולעב ויה ,"םדק
.הרשע-עשתה האמב קר הנתינ ךכל החכוה ךא ,ןורתפ ןהל ןיאש ושח


לגורקימב םומיח

,םמוחמה ןוזמה תומכ תלפכה םע" :רמאנ ילש לגורקימה רונתל הלעפהה תוארוהב
8-ב םמחמ ינא םיחופת תגוע לש תחא הסורפ ."םומיחה ןמז תא 50%-ב לידגהל שי
.תוינש 18-ל תוקוקז תוסורפ עבראו תוינש 12 ךשמב וממחתי תוסורפ יתש ןכלו ,תוינש

םמחל ידכ ץוחנ ןמז המכ" הלאשב טבלתמ ידועבו ,םיחרוא השולש ינרקבל ואב םויה
םמחל ידכ ץוחנ ןמז המכ ."הסורפ יצח קר יליבשב" םהמ דחא רמא ,"תוסורפ שולש
?תוסורפ x םמחל ידכ ץוחנ ןמז המכ :יללכ ןפואבו ,תוסורפ יצחו םייתש

רשאכ ןוזמה תומכ תא יתלפכה םימעפ המכ ררבל ילע הליחת ,הלעפהה תוארוהל םאתהב
.(x לש 2 סיסב יפל םתירגול) log2x איה ךכל הבושתה .תוסורפ x םמחמ ינא
ןמזה ןכלו ,םומיחה ןמז תא 1.5 יפ ליפכהל שי ,תלפכומ םמוחמה ןוזמה תומכש םעפ לכב
.(x לש 2 סיסב יפל םתירגול תקזחב 1.5) 1.5log2x אוה תוסורפ x םומיחל שרדנה



תוקזח לש רוט

רפסמב רתויב תוילאמשה תורפסה שולש ןהמ

? S = 11 + 22 + 33 + ... + 999999 + 10001000



.10001000 < S < 10001+10002+10003+...+1000999+10001000 :םייקתמש תוארל לק
.תורפס 3001 ןב אוה S לש וידדצ ינשמש םירפסמה ינשמ דחא לכ ,הז לופכ ןויוויש-יאב
אוה S לש ונימימש רפסמהו ,םיספא 3000 ונימימש 1 אוה S לש ולאמשמש רפסמה
.100100100...1001000
תורפסה שולש םג הלא ןכלו ,100 ןה רתויב תוילאמשה תורפסה שולש םירפסמה ינשב
.S לש רתויב תוילאמשה


הנש ףלאב תחא םעפ

.1000 = 198+199+200+201+202 :םיבקוע םירפסמ לש םוכסכ גיצהל רשפא 1000 רפסמה תא
רצקנ .1001 = 500+501 :םיבקוע םירפסמ לש םוכסכ גיצהל רשפא 1001 רפסמה תא םג
םוכסכ וגיצהל רשפא יאש דחא רפסמ קר שי 1999 דעו 1000-מ םירפסמה םוחתבש רמאנו
?והמ .םיבקוע (םייבויחו םימלש) םירפסמ לש

םירפסמ לש םוכסכ הגצהל ןתינ n םלש רפסמ :רתוי תיללכ הנעט חיכונ הדיחה ןורתפל
.2 לש הקזח וניא םא קרו םא םיבקוע

תא קלחנ .n תא קלחמש 1-מ לודג d יגוז-יא רפסמ םייק ,2 לש הקזח וניא n רשאכ
םיבקוע םירפסמ לש םירביא d תב הרדס לש הזכרמ איה ונלביקש האצותה .d-ב n
לטבל רשפא ,-s ,ילילש רפסמב הליחתמ וז ךרדב הרצונש הרדסה םא .n םמוכסש
קר לולכת הרדסהש חיטבנ ךכו ,הרדסה לש םוכסב עוגפל ילב s דע -s םירביאה תא
ינש לש םוכסכ תולק רתיב וגיצהל ןתינ יגוז-יא רפסמ אוה n רשאכ .םייבויח םירפסמ
ןורתפ םיגדמ הדיחב עיפומש 1001 רפסמה) n = (n/2-1/2)+(n/2+1/2) :םיבקוע םירפסמ
רפסמ והז רשאכ) יגוז-יא רפסמל םג הבוט הרדסה תריציל תיללכה ךרדה ךא ,(הז
.(ומצע רפסמל הווש d קלחמה ,ינושאר

,םיאתמ וניא יגוז רפסמל ונתנש יללכה ןורתפה ?2 לש הקזח אוה n רשאכ הרוק המ
n גיצהל תרחא ךרד לכ ןיאש תוארהל רתונ ןיידע .n לש יגוז-יא םרוגל וב ונקקזנ יכ
םירביא k לש הרדס שי רמולכ ,וזכ ךרד שיש חיננ .םיבקוע םירפסמ לש םוכסכ הזכ
יפל ,הרדסה םוכס .n אוה הרדסה םוכסש ךכ ,m אוה םהבש ןושארהש ,םיבקוע
.2n = (2m+k-1)k רמולכ ,n = (2m+k-1)k/2 אוה ,ינובשח רוט םוכסל העודיה החסונה
רפסמ אוה ,(2m+k-1) וא k ,ןויוושה לש ןימי דצבש הלפכמב םירביאה ינשמ דחא
.2 לש הקזח אוה ןויוושה לש לאמש דצב רפסמהש ךכל הריתסב ,יגוז-יא

דחא רפסמ קר שי 1999 דעו 1000-מ םירפסמה םוחתב .ונתדיחל רוזחנ תיללכה הנעטהמ
.שקובמה רפסמה אוהו ,1024 = 210 :2 לש הקזח אוהש


© יש דודל תורומש תויוכזה לכ 1998



האבה הדיחל ךשמה
תודיחה תמישרל