חזרה לסעיף הקודם: תחילת הדרך
המשך לסעיף הבא: המחשב נכנס לתמונה
חזרה לתוכן העניינים

צעדים ראשונים בהוכחות כלליות

לעומת התפתחותה הנמרצת של תורת המספרים, התקדמה הוכחתו של המשפט האחרון של פרמה בצעדי צב, מה גם שהוכחתו של כל מקרה פרטי היתה קשה מקודמתה. ניכר אם כן הצורך במציאת דרך חדשה להתמודדות עם הבעיה. בדרך כזו הלך לאמה בתחילת שנת 1847. באמצעות פירוקו של הביטוי xn+yn למכפלה של n גורמים, תוך שימוש במספרים אלגבריים שונים מאלה ששימשו את קודמיו ובטקטיקה העושה שימוש מהותי יותר במספרים אלה, הציג לאמה בפני חברי האקדמיה הצרפתית למדעים הוכחה למשפט פרמה בכללותו )לא למקרה פרטי(. לאמה הנרגש לא לקח את כל התהילה לעצמו, ובסוף דבריו ציין שהגיע לדרך זו בעקבות שיחה עם עמיתו ג'וזף ליוביל. מיד בתום דברים אלה קם ליוביל והצביע על רכיב חשוב שחסר בהוכחה: אומנם קיימים קוי דמיון רבים בין המספרים השלמים ובין המספרים האלגבריים שבהם השתמש לאמה, ודמיון זה מאפשר להקיש מתכונות המספרים השלמים לתכונות המספרים האלגבריים, אך להשלמת ההוכחה נותר להראות שמשפט דומה למשפט היסודי של האריתמטיקה תקף גם ביחס למספרים אלגבריים אלה.

בשבועות שלאחר מכן התאמץ לאמה, ובמקביל לו אוגיסטן לואי קושי, התופס מקום מרכזי בחייהם של תלמידי מתמטיקה שנה א', להשלים את החסר, אך נסיונותיהם עלו בתוהו. "אילו רק היית בפריז או הייתי אני בברלין, כל זה היה נמנע", כתב לאמה האומלל לידידו דיריכלה. הוכחה שטעותו של לאמה אכן אינה ניתנת לתיקון נמצאה שלוש שנים קודם לכן על-ידי ארנסט אדוארד קומר (Kummer), שלימים החליף את דיריכלה באוניברסיטת ברלין, אך הוא בחר לפרסמה בכתב עת נידח, ולכן לא הגיעה בזמן לידיעת לאמה. רק לאחר ששמע על הויכוח בין לאמה לליוביל, שלח קומר עותק של הוכחתו לליוביל, שהביאה לידיעת הציבור באמצעות פירסומה מחדש בכתב-עת שבעריכתו (בכתב-עת זה הופיעה גם הוכחתו השגויה של לאמה). גם אוילר נכשל בטעות דומה לזו של לאמה, ולכן עולה השאלה האם גם פרמה טעה באופן דומה כאשר רשם בשולי הדף שיש לו הוכחה נפלאה.

אל הבעיה שבה נכשל לאמה הגיע קומר תוך כדי עבודה על "חוק ההדדיות". זהו נושא בתורת המספרים אותו החל לפתח גאוס, שהביע תקווה שקידום הנושא יאפשר גם הוכחה פשוטה למשפט פרמה. כדי להתגבר על הבעיה פיתח קומר את המספרים האידאליים, שבהם מתקיים המשפט היסודי של האריתמטיקה, ולכן יש בהם תועלת לפתרון בעיות רבות בתורת המספרים. חשיבותו של רעיון זה חורגת מגבולות תורת המספרים, והוא הורחב על-ידי ריכרד דדקינד לענף מתמטי נפרד: תורת האידאלים.

ניצולם של המספרים האידאליים לטיפול במשפט האחרון של פרמה, באסטרטגיה שאינה שונה מזו של לאמה, איפשר לקומר לבצע את פריצת הדרך העיקרית, עד לשנים האחרונות, בהוכחת משפט זה. שבועות ספורים לאחר כשלונו של לאמה הוכיח קומר את המשפט לא לחזקה מסוימת, כי אם לקבוצה נרחבת של חזקות, הקרויה "ראשוניים רגולריים". כדי להראות שמשפט פרמה נכון עבור n כלשהו, די לוודא, באמצעות חישוב, ש-n זה הוא ראשוני רגולרי. תוך ארבע השנים שלאחר מכן חישב קומר שמתוך כל המספרים הראשוניים הקטנים מ-100, רק 37, 59 ו-67 אינם רגולריים. בשנת 1857 מצא קומר תנאים נוספים שעמידה של חזקה בהם מוכיחה שהיא מקיימת את משפט פרמה, ותנאים אלה השלימו את הוכחת המשפט לכל החזקות הקטנות מ-100.

© 1996 כל הזכויות שמורות לדוד שי


חזרה לסעיף הקודם: תחילת הדרך
המשך לסעיף הבא: המחשב נכנס לתמונה
חזרה לתוכן העניינים

Free Web Hosting